Dômes géodésiques: géométrie et vocabulaire

 Le but de conception d'un dôme géodésique sera triple
- obtenir un volume proche d'une sphère
- le réaliser avec des facettes indéformables pour que l'ensemble soit indéformable
- avoir des montants pour réaliser ces facettes répartis en peu de groupes de longueurs différentes

Voila pourquoi le point de départ sera le choix d'un polyèdre régulier qui possède déja des arêtes égales et des sommets répartis sur une sphère, et parmi ceux-ci on choisira l'octaèdre ou l'icosaèdre composés de triangles (le triangle est indéformable)

 

 Les polyèdres réguliers

Dans l'ordre: cube (ou hexaèdre), octaèdre, tétraèdre, icosaèdre, dodécaèdre

 

 

   Fréquence 1                 Fréquence 2           Fréquence 3              Fréquence 4
   1 triangle (départ)            4 triangles             9 triangles              16 triangles

   Fréquence

Tels quels, ces volumes sont encore trop anguleux et pour des espaces assez grands, les longueurs de montants seraient trop importantes. C'est pourquoi on divisera ces arêtes en parties égales (il y a plusieurs façons de diviser ces arêtes, seule celle-ci donnant peu de longueurs différentes sera exposée ici).

On nomme fréquence le nombre de divisions de chaque arête du polyèdre de départ.

On recrée de petits triangles à l'intérieur de chaque face

 

 ABC: triangle du polyèdre (ici divisé en fréquence 2.). Ses sommets sont sur une sphère de centre O et rayon R.

On projette sur la sphère les points de divisions des arêtes des triangles (ici un seul triangle).

On joint ces nouveaux points avec A, B et C. On obtient une figure semblable au triangle de base avec sa division en 4 petits triangles mais déformée (traits gras). Tous ses points sont sur la sphère.

On a ainsi "arrondi" le polyèdre de base, mais augmenté le nombre d'arêtes pour le réaliser. De plus ces arêtes ne sont pas toutes de même longueur.

 

 Il y aura

2 longueurs d'arête différentes pour la fréquence 2, A et B
3 longueurs d'arête différentes pour la fréquence 3, A, B, et C
6 longueurs d'arête différentes pour la fréquence 4, A à F

répartis comme sur les figures

On nomme Facteur de corde le rapport entre la longueur d'une arête et le rayon de la sphère, Axial l'angle entre l'extrémité d'une arête et le rayon, Dièdre l'angle de deux faces contigües.

Longueurs et angles

 Octaèdre

Facteur de corde et Axial

Fréquence 2 

A= 0,7653 - 67,5°
B= 1,0000 - 60,0°

 Fréquence 3 

A= 0,4595 - 76,7°
B= 0,6325 -
71,6°
C= 0,6714 -
70,4°

 Fréquence 4 

A= 0,3204 - 80,8°
B= 0,4472 -
77,1°
C= 0,4389 -
77,3°
D= 0,5176 -
75,0°
E= 0,5774 -
73,2°
F= 0,4595 -
76,7°

 Icosaèdre

Facteur de corde etAxial

 

 

 Fréquence 2 

A= 0,5465 - 74,2°
B= 0,6180
- 72,0°

  Fréquence 3 

A= 0,3482 - 80,0°
B= 0,4036
- 78,4°
C= 0,4124
- 78,1°

  Fréquence 4 

A= 0,2532 - 82,7°
B= 0,2952 - 81,5°
C= 0,2945 - 81,5°
D= 0,3129- 81,0°
  E= 0,3249
- 80,7°
 F= 0,2986 - 81,4°

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