Du nombre d'Or

Arithmétique

Ce nombre possède (entre autre) la propriété; arithmétique unique et curieuse de se situer par rapport au nombre 1 de telle sorte que
si on lui ajoute 1 on l'élève au carré
si on lui retranche1 on obtient son inverse

Soit la progression géométrique de raison
Elle peut s'exprimer en fonction de soit
1/(5+3) 1/(3+2) 1/(2+1) 1/(+1) ( 1/) 1 ( +1) ( 2+1) (3+2) (5+3)

dans la progression ascendante et descendante à partir de 1, on retrouve les termes de la série de Fibonacci (dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents) décalés de un rang pour le multiple de et le terme qui s'y ajoute ou = + et 1 /= 1 /( +)
avec
le terme de la série de Fibonacci de rang n
Série de Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 dont le rapport entre 2 termes successifs tend versd'autant plus que n augmente
89 / 55 = 1,61818
Et bien d'autres curiosités qui feront dire que sera considéré comme le nombre cosmique de la perpétuation.

Egypte

 Les anciens égyptiens connaissaient-ils le nombre d'or? Est-il contenu dans les proportions de la pyramide de Khéops?

Il est difficile de le savoir par la mesure, ses dimensions étant aujourd'hui un peu différentes de l'origine, ce bâtiment ayant à l'occasion servi de carrière de pierres.
Cependant, il nous reste le témoignage de Héodote qui, avec un long sé;jour en Egypte, a reçu quelques bribes de connaissances sous la forme de cette énigme mathématique:
"la surface de chaque face triangulaire est la même que celle d'un carré; dont les côtés seraient égaux à la hauteur de la pyramide"

Enigme que l'on peut résoudre facilement: la pyramide a une base carrée de côté 2, sa hauteur est H, a est l'apothème ou hauteur du triangle d'une face.

 

Géométrie

 est relié; au nombre 5 (par sa racine) mais aussi aux figures géométriques planes ou spatiales présentant une symétrie d'ordre 5 ou multiple de 5 (pentagone, décagone, icosaèdre, dodécaèdre, triacontaèdre,...)

Construction du nombre d'or

Deux carrés accolés de côté 1 forment le rectangle ABCD de côtés 1 et 2. La diagonale AC coupe le coté commun des carrés en son milieu. Avec ce point pour centre, on trace le cercle de diamètre 1 qui coupa AC en M et N.
On pourra démontrer que
AM =
1 /
AN =

 

Pentagones

 Comment tracer un pentagone avec seulement la règle et le compas? Ce n'est pas évident.Voila une méthode

On trace un cercle de centre O et deux diamètres perpendiculaires. I est le milieu du rayon OD.

Un cercle de centre I et de rayon IA coupe OB en J. Un cercle de centre A et de rayon AJ coupe le cercle initial en E et F. Les point A, E et F sont 3 sommets d'un pentagone

 

 également:
deux cercles de rayon 1 dont les centres sont séparés de la distance se coupent selon une corde côté du pentagone convexe
deux cercles de rayon 1 dont les centres sont séparés de la distance 1/ se coupent selon une corde ccôté du pentagone étoilé

Le côté du pentagone convexe mesure Le côté du pentagone étoilé mesure
Le rapport des deux est

 

Décagones

 

 De même pour les décagones

La mesure du côté; du décagone convexe vaut 1 / = -1

La mesure du côté du décagone étoilé vaut

Et une règle générale pour pentagones et décagones: si la distance des centres de rayon 1 est le côté du polygone convexe, la corde commune est le côté de l'autre polygone étoilé et inversement.

Icosaèdre

 Polyèdre régulier composé
de 20 (4 x 5) triangles équilatéraux

Il contient 3 rectangle d'or (proportions 1 et perpendiculaires (c'est une façon de le construire)

Si la sphère circonscrite a un rayon de 1, l'arète de l'icosaèdre vaut = 1,051

 

Dodécaèdre
 

 Composé de 12 pentagone, le dodécaèdre régulier, dual de l'icosaèdre, porte le nombre d'or

Si 1 est la longueur de l'arète, le diamètre de la sphère circonscrite vaut

Triacontaèdre rhombique (ou zome 5)

 Composé de 30 losanges d'or (rapport entre les diagonales = ), le triacontaèdre rhombique peut être créé à partir de l'icosaèdre ou du dodécaèdre.

Si la longueur d'arète est 1 la distance entre les pôles (sommets opposés d'où rayonnent 5 arètes) vaut 2 /(+1) et le diamè;tre 2 /

 

Nombre d'or dans la nature

 Spirales logarythmiques chez le nautile, la fleur du tournesol et la pomme de pin  

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